Ensembles finis Exemples

$[\begin{array}{c} - 2 & 8 \\ 1 & 4 \end{array}]$

Étape 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Étape 2

Find the determinant.

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 2 \cdot 4 - 1 \cdot 8$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$- 8 - 1 \cdot 8$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 - 8$

Étape 2.2.2

Soustrayez $8$ de $- 8$ .

$- 16$

Étape 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Étape 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 16} [\begin{array}{c} 4 & - 8 \\ - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{16} [\begin{array}{c} 4 & - 8 \\ - 1 & - 2 \end{array}]$

Étape 6

Multipliez $- \frac{1}{16}$ par chaque élément de la matrice.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 7.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{16} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.1.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 (4)} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.1.3

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4 \cdot 4} \cdot 4 & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.1.4

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} \frac{- 1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & - \frac{1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 7.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{16} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.2

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{8 (2)} \cdot - 8 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{8 \cdot 2} \cdot (8 \cdot - 1) \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.3.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- 1}{2} \cdot - 1 \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.4

Associez $\frac{- 1}{2}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{- - 1}{2} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{16} \cdot - 1 & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.6

Multipliez $- \frac{1}{16} \cdot - 1$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ 1 (\frac{1}{16}) & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.6.2

Multipliez $\frac{1}{16}$ par $1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & - \frac{1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{16}$ dans le numérateur.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- 1}{16} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.7.2

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2 (8)} \cdot - 2 \end{array}]$

Étape 7.7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.7.4

Annulez le facteur commun.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- 1}{2 \cdot 8} \cdot (2 \cdot - 1) \end{array}]$

Étape 7.7.5

Réécrivez l’expression.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- 1}{8} \cdot - 1 \end{array}]$

Étape 7.8

Associez $\frac{- 1}{8}$ et $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{- - 1}{8} \end{array}]$

Étape 7.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{16} & \frac{1}{8} \end{array}]$